L’equazione di Schrödinger

L’equazione L’equazione di Schrödinger è una delle più fondamentali della meccanica quantistica

I fondamenti della meccanica quantistica sono spesso percepiti come inaccessibili dalla maggior parte delle persone. Accanto all’intuizione ingannevole che circonda la fisica quantistica, si diffondono numerosi pregiudizi. È comunemente considerata una disciplina estremamente complessa, ma in realtà non è così difficile come appare.

Questo è un tentativo di spiegare l’equazione di Schrödinger a chi non ha familiarità con l’argomento, un’equazione che ha rivoluzionato il nostro modo di comprendere la realtà.

L’equazione di Schrödinger è un’equazione differenziale parziale lineare che governa la funzione d’onda di un sistema quantistico.

Anche se probabilmente non aveva molto senso. Cosa significa dire che una funzione è lineare ? O che è parzialmente derivabile ? Beh, per rispondere a queste domande bisognerebbe addentrarsi più a fondo nella matematica. Ma per quanto ci riguarda oggi:

L’equazione di Schrödinger fornisce un metodo per calcolare la funzione d’onda di un sistema e come essa cambia dinamicamente nel tempo.

Concettualmente, l’equazione di Schrödinger è la controparte quantistica della seconda legge di Newton nella meccanica classica. Date delle condizioni iniziali note, la seconda legge di Newton fa una previsione matematica sul percorso che un dato sistema fisico seguirà nel tempo. L’equazione di Schrödinger descrive l’evoluzione di una funzione d’onda nel tempo.

Ecco a voi: l’equazione di Schrödinger

L’equazione può essere scritta in varie forme. Tuttavia, nella sua forma più semplice, si presenta più o meno così:

Questa equazione dall’aspetto scoraggiante rappresenta il punto in cui ci troviamo. È, a tutti gli effetti, il postulato della meccanica quantistica di maggior successo di tutti i tempi. Alla fine di questo articolo, avrete almeno una comprensione di base di cosa tutto ciò significhi realmente.

Innanzitutto, partiamo da psi, la ventitreesima lettera greca. Ψ rappresenta la funzione d’onda di un sistema quantistico. In particolare, Ψ ci dice quanto è probabile trovare una determinata particella in diverse regioni dello spazio all’interno del nostro sistema.

Ora, le funzioni d’onda. Cosa sono? Ho dedicato un articolo di 7 minuti se volete saperne di più, ma in breve, una funzione d’onda è una descrizione matematica di tutto ciò che sappiamo di un particolare sistema quantistico. Un sistema quantistico è ovviamente un sistema che stiamo studiando utilizzando la meccanica quantistica. Potrebbe essere qualsiasi cosa.

Mettete un elettrone in un campo elettrico e quello sarà un sistema. E se usiamo la meccanica quantistica per studiarlo, diventa un sistema quantistico.

Ψ² ∝ distribuzione di probabilità di trovare una particella in un punto particolare.

Ma quando rappresentiamo un sistema quantistico non scriviamo semplicemente Ψ. Lo scriviamo in questo modo: |Ψ⟩. Una linea retta a sinistra e una parentesi angolata a destra. Ora, tutto questo insieme si chiama ket. Viene scritto in questo modo per una moltitudine di ragioni matematiche. Ma ai fini di questo articolo, ciò che dobbiamo sapere è che il ket ci permette di capire che stiamo osservando un sistema quantistico.

È solo una notazione di convenienza. Un ket è il simbolo della meccanica quantistica che codifica lo stato di un sistema. Quindi, in sostanza, il ket, che è lo stato quantistico, ci dice lo stato del nostro sistema quantistico. Chi l’avrebbe mai detto?

|Ψ⟩ = stato del sistema quantistico

Ora che questo è stato stabilito, è possibile dedurre che il resto degli elementi nell’equazione di Schrödinger influenzerà lo stato quantistico in un modo o nell’altro. Ciò significherebbe che ciò che stiamo studiando è il comportamento dello stato quantistico.

Ora diamo un’occhiata alla prima parte:

Questa parte è relativamente semplice da capire. Innanzitutto, è importante sapere che sia i che hbar sono costanti. Ovvero, sono solo numeri. Numeri molto importanti, ma pur sempre numeri.

i, a quanto pare, è la radice quadrata di meno 1. Ora, se non hai familiarità con i numeri complessi, potresti pensare che questo non sia possibile. Ma lo è. Non addentriamoci troppo nei dettagli . Fidati ciecamente di me.

i = √(−1)

Arrivando allo strano ds:

Questa notazione vi sarà familiare se avete studiato calcolo differenziale al liceo. Ma se non l’avete fatto, significa semplicemente la variazione di qualcosa (in questo caso, il nostro stato quantistico) rispetto al tempo. Naturalmente, ci sono alcune sottigliezze matematiche che ho omesso, ma l’essenza è che questo operatore differenziale misura la velocità con cui qualcosa cambia rispetto al tempo.

Quindi ora abbiamo questo:

Mettendo tutto insieme, sappiamo di avere un certo numero, i hbar, moltiplicato per doh per doh t dello stato quantico. Il prodotto doh per doh t dello stato quantico misura la variazione dello stato quantico rispetto al tempo. Abbiamo trattato la maggior parte dell’equazione. Ma la parte migliore deve ancora venire.

Le cose buone

Il lato destro dell’equazione: Ĥ|Ψ⟩.

Questo (la Ĥ) è noto come operatore hamiltoniano. La prima lettera di “Hamiltoniano” spiega perché viene indicato con una H, ma perché il cappello? Beh, in meccanica quantistica esistono delle entità chiamate operatori. Vengono scritti con un piccolo cappello sopra. In pratica “operano” sugli stati quantistici. Fanno delle cose allo stato quantistico.

L’operatore hamiltoniano è l’operatore quantistico per eccellenza. È legato all’energia totale del sistema. In breve:

Ĥ = energia cinetica + energia potenziale + qualsiasi altra energia presente nel sistema

In sostanza, tutto ciò che accade qui è che lo stato quantistico, |Ψ⟩, cambia nel tempo in un modo ben preciso, a seconda dell’energia totale del sistema. Questa equazione, quindi, ci permette di prevedere come dovrebbe comportarsi un sistema quantistico se riusciamo a esprimere matematicamente tutte le energie del nostro sistema. Un gioco da ragazzi.

Tuttavia, come sempre, c’è un’avvertenza. Per sistemi più grandi di poche particelle, questo diventa impossibile molto, molto rapidamente. In altre parole, è piuttosto facile trovare un sistema che non può essere risolto analiticamente usando l’equazione di Schrödinger.

Abbiamo bisogno di metodi numerici per andare oltre. Anche gli esseri umani hanno i loro fallimenti in questo caso, quindi i computer lo fanno per noi. Ma anche ora, i computer più potenti non sono in grado di analizzare sistemi quantistici più grandi di poche decine di atomi.

L’atomo di elio

Ora, per dimostrare la complessità dell’Hamiltoniana, confrontiamola con un atomo relativamente semplice: l’atomo di elio. L’unico atomo più semplice è l’atomo di idrogeno. Facciamo subito alcune ipotesi. Innanzitutto, supponiamo che il nucleo dell’atomo rimanga fisso nello spazio.

In altre parole, tutte le particelle nel nucleo sono stazionarie. Sebbene questo non accada quasi mai, il nucleo si muove leggermente. Anche in questa situazione estremamente semplificata, l’Hamiltoniana del nostro sistema si presenta più o meno così:

Contiene i seguenti termini (in ordine di apparizione): l’energia cinetica del primo elettrone, l’energia cinetica del secondo elettrone, l’attrazione elettrostatica tra il nucleo e il primo elettrone, la stessa cosa con il secondo elettrone e la repulsione elettrostatica tra i due elettroni.

Ricorda che questo modello è talmente semplificato da non tenere minimamente conto di ciò che accade al sistema quantistico. Inoltre, non abbiamo considerato gli spin degli elettroni, gli spin dei protoni e molto altro.

In un certo senso, sebbene disponiamo di questa equazione straordinariamente potente, i calcoli matematici che la sottendono possono richiedere tempi lunghissimi. Ad ogni modo, spero che abbiate imparato qualcosa sull’equazione di Schrödinger.

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